开普勒说：“我发现了第二定律，但我想知道椭圆的弧长如何更方便的去求。”
1718年左右，数学家找到了一种特殊的积分方程，有k和t这样的参数。
“双扭线的弧长，单摆的周期、弹性细棒弯曲也出现了这样的积分方程。统称为椭圆积分。”
1751年，意大利数学家法纳诺：“我发现双扭线积分倍弧长公式。”
欧拉说：“我得到了椭圆积分加法定理。”
勒让德说：“我开始继续研究椭圆积分。可以转化成三种类型。得到基本性质，引进全椭圆积分。”
高斯说：“我研究的是一类特殊椭圆函数。其实是双扭线的那一种。同时与三角函数进行类比。其中双扭线的一些性质，对椭圆曲线可以有指导作用。”
1828年，阿贝尔开始了他曾经研究过的问题，椭圆形长度和面积的问题。
椭圆形的长度和面积是一个难题，数学大师勒让德对这个难题研究多年，但没有明晰的答案。
椭圆形长度有三个带积分方程的解法，每个解法都有优点，也有自己的毛病，所以阿贝尔想找一个更加合适的去解决这个问题。
勒让德知道表示椭圆长度的方程不能用初等函数的式子表示，但是还是取了近似。
这种近似让阿贝尔看出了这个近似公式的反函数是一种简单一些的三角函数公式，而三角函数的加减乘除运算时很简单的，勒让德为什么没有用这个思路，阿贝尔不清楚，但是阿贝尔认为，使用这个思路会很方便的对椭圆长度线进行轻松的加减乘除运算。
他把椭圆函数定义域展开到了复数域，发现了椭圆函数的双周期性。
果然，阿贝尔在这方面有突破的进展，他把论文寄给了当地有影响力的数学大师柯西，柯西曾经回复过他，说论文写得很不错。
但是柯西工作太过于忙碌，竟然忘记了阿贝尔的工作。
而同样是数学大师的傅里叶也想跟柯西讨论阿贝尔的椭圆曲线的问题，柯西才想起来，但是堆满推写公式纸张的屋子里，柯西翻墙捣柜的找了很久，也没有找到。
勒让德也看到了阿贝尔的公式，大为兴奋，认为自己遇到了天才，要求和很多法国数学家想挪威政府联名上书，给阿贝尔一个科学研究的职位，而且也给德国柏林大学也联合申请了一个职位。
但是阿贝尔失踪了，连克列尔都不知道他的下落，他像空气一样消失了。